martes, 16 de junio de 2015

Los problemas de optimización en la selectividad de Catalunya

Los problemas de optimización son, de alguna manera, la cúspide de las matemáticas preuniversitarias. El estudiante, después de meses asimilando arduamente el concepto de derivada de una función, y su capacidad para localizar máximos y mínimos relativos, vuelve al territorio de la geometría, recupera las viejas fórmulas de área, perímetro, Pitágoras, y modeliza problemas de máximos y mínimos mediante fórmulas de una variable a las que poder aplicar la derivada para determinar valores óptimos.

Los problemas de optimización son la cumbre de lo que los americanos llaman "Calculus": un cruce de caminos, un espacio transversal entre el análisis y la geometría analítica (y la física, economía...), con una gran presencia de todo tipo de ecuaciones.

La dificultad de estos problemas (y el fantástico desafío que suponen) reside en el largo desarrollo que ha de realizar el alumno desde su planteamiento, la modelización en forma de una única función de una variable y su posterior derivada, así como de la interpretación de las posibles soluciones encontradas.

Las pruebas de selectividad de matemáticas en Catalunya siempre han incorporado un problema de optimización. Es interesante observar como va evolucionando a lo largo de los años.

El siguiente problema lo encontramos en el examen de PAU de Junio del 1997:


Observamos el predominio del texto sobre el dibujo, que queda reducido a un sobrio gráfico de dos segmentos paralelos y cuatro puntos.

 Seis años después, en junio del 2003 encontramos un problema similar:


Observamos que el elemento gráfico ha mejorado, adquiriendo más protagonismo, pero la estructura y dificultad es la misma. Se nota la evolución gráfica de los procesadores de texto.

Pero 11 años después, en las PAU del 2014, aparece una vez más el mismo problema, pero ahora con un elemento nuevo muy significativo:




Nos encontramos con un fenómeno que aparece en los últimos años de las PAU que yo denomino "problema de optimización ma non troppo". En el enunciado aparece la fórmula a optimizar y al alumno se le pide solamente que "demuestre", "compruebe"...  que la fórmula presentada efectivamente es correcta. Es como si en un cucigrama te encuentras con la definición "Dos letras, símbolo químico de la plata, comprueba que es Au". Es como si te llevan a pescar con el pescado enganchado al anzuelo.(Se da la paradoja de que aparece la fórmula pero desaparece el gráfico, con lo que imaginar la situación para un alumno que no conozca previamente el modelo de problema es de lo más farragoso y complicado).

En las pruebas PAU de este mismo año 2015 nos encontramos con  un "problema" de optimización que desde luego no pasará a la historia por su dificultad:


La fórmula aparece en el enunciado del problema, (y el autor llega incluso a indicar que el radio de la circunferencia superior es x/2, por dar pistas que no quede...).

Lo podemos comparar con un problema equivalente de la selectividad de junio del 2004 (¡de la rama Social!):



 Este fenómeno de "dar la fórmula en el enunciado" no es en absoluto una excepción. Es un ejemplo más de la progresiva disminución del nivel de dificultad de las pruebas de selectividad para poder mantener los altísimos niveles de aprobados.

Las notas de selectividad de matemáticas se mantienen increíblemente estables a lo largo de los años:



 Y estamos llegando a un procentaje general de aprobados de Selectividad que llega ya al 100%:

  


Al menos con la optimización podemos todavía mantener un seguimiento, pues continúa apareciendo, aunque con más pena que gloria, en la Selectividad. Otros temas ya ni aparecen. Catalunya debe ser el único lugar en el mundo en el que no aparecen en la Selectividad ni la probabilidad ni la estadística. En este sentido es interesante el artículo



Está claro que mientras el nivel de dificultad vaya bajando nadie, ni alumnos ni profesores, se quejarán, ¿ Pero hasta cuando podremos seguir manteniendo los niveles de aprobados y de notas a base de ir reduciendo la dificultad? ¿No estamos acaso ante una burbuja educativa?


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